Qualitative properties of solutions to some semilinear and quasilinear elliptic PDEs

Abstract

Il metodo dello spostamento degli iperpiani di A.D. Alexandrov e J.B. Serrin è lo strumento più importante utilizzato per studiare le proprietà qualitative di soluzioni di equazioni alle derivate parziali (EDP) di tipo ellittico non lineari, come simmetria e monotonia. Il Capitolo 1 tratta i principi del massimo, i principi di confronto e il lemma di Hopf che svolgono un ruolo cruciale nel metodo del moving planes. In questo capitolo, inoltre, è presente anche lo stato dell’arte nei problemi semilineari e quasilineari. Nel Capitolo 2 consideriamo le soluzioni positive di EDP ellittiche semilineari con non linearità singolari. In questo contesto, usando un argomento di “riscalamento”, dimostriamo un nuovo lemma di Hopf al bordo, eludendo la perdita di regolarità di soluzioni vicine al bordo. Il Capitolo 3 tratta della versione quasilineare del problema studiato nel Capitolo 2. Dopo aver ottenuto un lemma di Hopf per questo tipo di equazione, dimostreremo la simmetria e la monotonia delle soluzioni positive nel semispazio e nei domini limitati e convessi. Nel Capitolo 4, utilizzando il metodo del moving planes, dimostriamo la simmetria e la monotonia di soluzioni positive di EDP semilineari (possibilmente singolari) in domini limitati e illimitati. Il caso quasilineare, che è molto di più delicato e tecnico, è trattato nel Capitolo 5. Il capitolo 6 è dedicato allo studio delle proprietà qualitative di soluzioni positive e singolari di alcuni sistemi ellittici cooperativi. Verrà dimostrato che i risultati ottenuti nel Capitolo 4 restano veri in questo contesto. Nell’ultimo capitolo (Capitolo 7) dimostriamo la versione quasilineare della congettura di Gibbons.