Global Optimization, Ordinary Differential Equations and Infinity Computing

Abstract

La tesi consiste in 4 capitoli. I primi due capitoli riguardano l’ottimizzazione globale utilizzando il framework dei computer tradizionali, mentre gli altri due capitoli riguardano l’utilizzo della nuova tipologia dei supercomputer – l’Infinity Computer – che permette di lavorare numericamente con i numeri finiti, infiniti ed infinitesimi allo stesso modo per risolvere i problemi di ottimizzazione globale e di equazioni differenziali ordinarie. La prima linea di ricerca è dedicata all’ottimizzazione globale unidimensionale di Lipschitz. Due approci per la costruzione dei metodi sono stati studiati in questa direzione: l’approcio “geometrico” basato sul metodo di Pyavskii e l’approcio “information” basato sul metodo di Strongin. Sono state proposte le nuove tecniche per l’accelerazione della ricerca globale. E’ stata effettuata l’analisi di convergenza dei metodi proposti. Gli esperimenti numerici su diversi classi delle funzioni test hanno confermato l’analisi effettuata. L’altra linea di ricerca è dedicata alla comparazione sistematica dei metodi di ottimizzazione globale di natura diversa. Due tipologie dei metodi sono state studiate: i metodi metaheuristici (che hanno la natura stocastica) e i metodi di ottimizzazione globale lipschitziana (che sono deterministici). Sono stati proposti due nuovi metodi per la comparazione grafica di queste due classi degli algoritmi. Gli esperimenti numerici su più di 1 000 funzioni test con più di 1 000 000 lanci randomizzati degli algoritmi stocastici hanno confermato i vantaggi dei metodi proposti. Inoltre, un nuovo generatore dei problemi test dell’ottimizzazione globale vincolata è stato proposto. Il generatore è basato sul GKLS-generatore dei problemi test dell’ottimizzazione globale non vincolata e permette di utilizzare le tecniche proposte per il confronto degli algoritmi di natura diversa anche nel caso dell’ottimizzazione vincolata. La terza linea di ricerca è dedicata allo studio delle istanze di malcondizionamento nei problemi di ottimizzazione. Prima sono stati considerati i problemi unidimensionali con la funzione obiettivo scalata con i valori infiniti ed infinitesimi delle costanti di scala. E’ stato dimostrato che i problemi scalati che sono malcondizionati sui computer tradizionali diventano bencondizionati se si utilizza l’Infinity Computer. Poi si studia il metodo Diagonal Bundle con la memoria limitata (chiamato “D-Bundle”) dell’ottimizzazione multidimensionale convessa e non differenziabile. E’ stato costruito un nuovo metodo basato sul metodo “D-Bundle”, in cui la matrice che definisce la metrica è sempre bencondizionata grazie all’Infinity Computing (che non è il caso per il metodo originale). L’ultima linea di ricerca è dedicata alla soluzione delle equazioni differenziali ordinarie sull’Infinity Computer. Nuovi metodi per la soluzione del problema ai valori iniziali sono stati proposti. Questi metodi usano le derivate della soluzione sconosciuta calcolate esattamente sull’Infinity Computer. L’analisi della convergenza è stata effettuata e i risultati sono stati confermati dagli esperimenti numerici sui problemi test dalla letteratura. I risultati ottenuti sono stati pubblicati in 8 articoli sulle riviste internazionali, e 1 articolo è stato sottomesso in una rivista internazionale. Inoltre, 1 contributo al volume e 9 articoli negli atti dei convegni internazionali sono stati anche pubblicati. I risultati ottenuti sono stati presentati durante 8 convegni internazionali.