Surfaces with Prym-canonical hyperplane sections

Abstract

Uno dei principali problemi della geometria algebrica e la classi cazione delle variet a algebriche a meno di isomor smi o di equivalenza birazionale. Mentre il problema della classi cazione di curve algebriche e essenzialmente risolto, il problema della classi cazione di super ci presenta ancora qualche area sconosciuta. L'argomento di ricerca discusso in questa tesi rientra in quello della classi cazione di super ci proiettive complesse con sezioni iperpiane Prym-canoniche. I soli esempi conosciuti di questo tipo di super cie sono la super cie di Enriques ed una super cie in P5 di grado 10 ottenuta come immersione dello scoppiamento di P2 nei 10 nodi di una curva piana razionale irriducibile di grado 6. Noi diciamo che una super cie X ha sezioni iperpiane Prym-canoniche se pu o essere realizzata birazionalmente in qualche spazio proiettivo Pg􀀀1, per g 5, tale che una generica sezione iperpiana C di X e una curva liscia di genere g immersa Prymcanonicamente. Mostreremo che una super cie con sezioni iperpiane Prym-canoniche pu o essere birazionalmente equivalente o ad una super cie di Enriques o a P2, ed in tal caso pu o contenere soltanto punti doppi razionali come singolarit a, oppure ad una super cie rigata su una curva base di genere q 0. In quest'ultimo caso, la somma dei generi geometrici delle singolarit a di X e uguale al genere geometrico della curva base q. La propriet a generale di queste super ci e che, se : X0 ! X e la risoluzione minimale delle singolarit a di X, allora esiste solo un divisore antibicanonico e ettivo su X0 il cui supporto e contenuto nel luogo eccezionale di . Dal momento che le super ci di Enriques sono gi a state studiate da diversi autori, costruiremo nuove super ci con sezioni iperpiane Prym-canoniche birazionalmente equivalenti a super ci rigate o a P2. Il metodo per costruire esempi di questo tipo di super ci consiste nel trovare sistemi lineari L00 su super ci minimali X00 (super ci rigate o P2) tali che, dopo aver scoppiato tutti i punti base di L00 per ottenere X0, la trasformata stretta L0 di L00 e disgiunta dal solo divisore antibicanonico di X0 mentre il divisore anticanonico di X0 ristretto ad una generica curva di L0 e un divisore di torsione non-nullo.